Capitolo 11 ) Osservazione dei segnali mediante ‘finestre’
Si è visto che lo spettro di frequenza risultante da un segnale dipende anche dal tempo di osservazione T.
La Fig. 10.3 può essere scelta come punto di partenza per un’indagine più approfondita sulla distorsione, in funzione di T, del segnale ricostruito.
In tale figura è rappresentato lo spettro di un segnale sinusoidale f = 1.5 Hz, convertito per un intervallo T = 2.5 sec. Poichè il numero di campionamenti scelto è N = 20, si ha fc = N/T = 8 Hz, quindi la banda base dello spettro è compresa fra 0 e 4 Hz, con N/2 = 10 frequenze discrete, distanziate fra loro di 0.4 Hz.
Il segnale ricostruibile con tale spettro è quindi la somma di 10 armoniche, di cui quella più significativa è di 1.6 Hz.
Se il tempo T fosse stato esattamente uguale a 1/f (o a un suo multiplo), lo spettro base sarebbe costituito dalla sola frequenza f . Questo è infatti il caso particolare per cui l’intervallo di osservazione T uguaglia il periodo P del segnale (indipendentemente dal fatto che i due coincidano o siano ‘sfasati’).
In tutti gli altri casi dobbiamo considerare che il segnale ricostruito tenderà a riprodurre solo la parte del segnale originario campionata nell’intervallo T.
Se per esempio si assume T = 1 sec, come in Fig. 11.1, si osserva solo un periodo e mezzo del segnale sinusoidale di 1.5 Hz.
La ricostruzione mostra ovviamente notevoli discontinuità agli estremi.
Assumendo T = 3 sec (vedi ancora la Fig. 11.1) si ha ancora discontinuità, ma questa è attenuata per l’effetto di un’osservazione più prolungata.
Si noti che per mantenere costante il campionamento fc si è opportunamente adeguato in ciascun caso il numero N di campionamenti ( rispettivamente 8 per 1 sec e 24 per 3 sec).
Il fatto che lo spettro di un segnale sinusoidale campionato in un tempo discreto e non uguale al periodo del segnale, risulti composto da più armoniche deriva, come visto nel capitolo precedente, dal prodotto di convoluzione delle frequenza del segnale per lo spettro dell’impulso rettangolare di ampiezza unitaria corrispondente all’intervallo di osservazione.
Questa dispersione spettrale (nota nella letteratura tecnica come spectral leakage) è quindi causata dalla ‘finestra’ (window) con cui si osserva il segnale.
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Fig. 11.1 - Esempi di distorsione nelle ricostruzione
del segnale in funzione del tempo di osservazione.
Per ridurre la discontinuità del segnale agli estremi dell’intervallo di osservazione è pensabile di ricorrere ad altre forme di finestre, diverse da quella rettangolare.
La Fig. 11.2 mostra l’ultimo caso trattato, con la semplice sostituzione della forma della finestra da rettangolare a triangolare.
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Fig. 11.2 -
Utilizzo di una finestra triangolare anzichè rettangolare.
Come si vede, lo spettro risulta in pratica ridotto a due sole armoniche della stessa ampiezza, una a 1.333 Hz e l’altra a 1.666 Hz (valori multipli di 1/T, essendo T=3 sec), mentre le altre sono trascurabili.
La forma d’onda ricostruita nel tempo è una sinusoide a 1.5 Hz (come l’originale), ma modulata in ampiezza con un periodo che è funzione della differenza fra le due componenti [1]).
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Fig. 11.3 - Ricostruzione del segnale della Fig. 11.2.
L’esempio di ricostruzione in Fig. 11.3 , con la compensazione della finestra utilizzata, è puramente indicativo per mostrare le possibilità di calcolo, ma l’utilizzazione di finestre non ha certamente lo scopo di migliorare il segnale ricostruito, quanto quello di permettere una più significativa interpretazione dello spettro.
La tecnica delle finestre di osservazione (windowing), consente infatti di far risaltare le frequenze significative del segnale, attenuando invece quelle derivanti dalla limitazione del tempo di campionamento.
Numerosi autori hanno proposto forme diverse di finestre d’osservazione, per cui la letteratura tecnica è ricca di alternative.
La Fig. 11.4 mostra le forme che risultano generalmente le più adottate in pratica.
Eccetto la triangolare, tutte le altre finestre hanno una forma a campana con un effetto più o meno accentuato sulla riduzione delle armoniche laterali.
La finestra di Kaiser, basata sul rapporto fra funzioni di Bessel e quindi di più difficile calcolo, ha un coefficiente (qui indicato con a) che permette di allargare o restringere la forma a campana. Ciò permette una maggior flessibilità d’utilizzazione, quindi una possibilità di ottimizzare la forma dello spettro risultante
Fig. 11.4 - Tabella delle più comuni finestre di
osservazione
A titolo d’esempio applicativo si riporta in Fig. 11.5 il caso di un segnale composto da due frequenze, rispettivamente 12 e 18 Hz, in cui le ampiezze sono di 1 e 0.05.
Data la grande diversità di ampiezza è opportuno ricorrere ad una scala logaritmica, quindi esprimere le ampiezze in decibel (dB), come già visto a pag. 34.
Gli spettri della figura sono riferiti ad un livello di -40 dB, cioè ad 1/100. In tale scala l’ampiezza dell’armonica a 18 Hz risulta di 20·log(0.05)= -26 dB, mentre ovviamente quella a 12 Hz è 20·log(1)= 0 dB.
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Fig. 11.5 - Esempio di utilizzazione della finestra di Kaiser .
Con una finestra rettangolare di 1 sec (cioè considerando direttamente i valori rilevati dal campionamento della durata di 1 sec ), si ha uno spettro esatto.
Infatti T=1 sec corrisponde ad una scale di frequenze multiple di 1 Hz, quindi le due frequenze originali sono perfettamente identificate.
Ciò è evidentemente un caso, ma in generale sarà più probabile avere uno spettro con dispersione (leakage). Se per esempio la frequenza f1 fosse 12.5 Hz, anzichè esattamente 12, si avrebbe il secondo spettro di Fig. 11.5.
Per evitare la dispersione sarebbe in questo caso necessaria una finestra rettangolare di T=2 sec oppure, almeno per ridurla, ricorrere ad una finestra sempre di 1 sec ma di tipo a campana.
Utilizzando una finestra di tipo Kaiser, cioè moltiplicando ciascuno dei 128 valori del segnale rilevati in 1 sec di osservazione per il corrispondente valore wn di detta finestra, si ottiene il terzo spettro della Fig.11.5 in cui, malgrado le notevoli attenuazioni introdotte, si possono individuare chiaramente le frequenze originali.
