Capitolo 10 ) Intervalli di osservazione
Per l’analisi di Fourier si è finora considerato come intervallo temporale entro cui prelevare gli N valori del segnale distanziati fra loro DT , il periodo P del segnale da convertire, essendo P = N · DT.
Tale periodo coincide con quello dell’armonica fondamentale, dunque il suo inverso rappresenta la frequenza di base (fondamentale) della serie di Fourier e di conseguenza tutte le altre armoniche sono multipli interi di questa.
Il fatto, più volte sottolineato, che per l’analisi di Fourier il segnale debba essere rigorosamente periodico, estende però di fatto tale analisi a tutto il possibile campo temporale.
Ciò si esprime matematicamente dicendo che il tempo t varia da -¥ a +¥, suddiviso in un numero infinito di periodi P, in cui il segnale si ripete identicamente e la cui conversione in frequenza dà luogo ad uno spettro discreto di N/2 armoniche.
Si è poi visto che se DT tende a zero, N tende all’infinito e quindi lo spettro tende a diventare continuo, ma si è visto anche che se al contrario la frequenza di campionamento fc diventa troppo bassa rispetto a quella del segnale, le repliche dello spettro, distanziate fra loro di fc , possono introdurre nello spettro stesso delle frequenze estranee, cioè aliasing.
La conoscenza del periodo del segnale ed il sincronismo dei campionamenti con tale periodo assunti finora, sono condizioni molto restrittive per l’effettiva applicazione alla conversione di un segnale qualsiasi, generalmente sconosciuto a priori .
Ci si deve quindi porre il problema della osservazione di un segnale in un intervallo di tempo T non necessariamente coincidente sia come durata che come posizione con il periodo P del segnale stesso.
La Fig. 10.1 mostra un segnale sinusoidale x(t) di ampiezza unitaria e di frequenza 1.8 Hz esaminato in un intervallo di 2 sec, con una frequenza di scansione così elevata da poter considerare gli spettri risultanti praticamente continui.
L’intervallo di tempo di osservazione può essere visto come un impulso rettangolare di ampiezza unitaria g(t) , di cui è già nota la forma dello spettro (vedi il capitolo 5), che ‘modula’ in ampiezza il segnale x(t), generando il segnale y(t). In termini matematici :
y(t) = x(t) · g(t).
I contenuti armonici, cioè gli equivalenti in frequenza, sono X(f) ( praticamente una sola armonica a 1.8 Hz ) e G(f), rappresentata dalla funzione sen(p·f·T)/p·f·T , con zeri corrispondenti a multipli di 1/T.
Si noti che per necessità
grafiche l’asse dei tempi è stato
limitato a 4 sec (da -2 a +2), ma deve intendersi esteso fra -¥ e +¥, e l’asse delle frequenze è stato limitato fra 0 a 4
Hz, ma dovrebbe essere completato con
la regione simmetrica da 0 a -4 Hz , e dovrebbe essere esteso almeno
fra -fc e +fc.
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Fig. 10.1 - Intervallo di osservazione di un segnale.
La Fig.10.1 mostra chiaramente che un prodotto di funzioni nel tempo corrisponde ad un prodotto di convoluzione nelle frequenze.
Si osserva infatti che lo spettro del segnale y(t) risultante dalla combinazione di x(t) con g(t), è Y(f) = X(f) * G(f) e poichè X(f) si può considerare costituito da una sola frequenza (1.8 Hz), Y(f) risulta praticamente una duplicazione di G(f) spostata di 1.8 Hz.
Si osserva ancora che la larghezza della cuspide centrale dello spettro corrisponde a 2/T, ciò significa che più largo è l’intervallo di osservazione T più stretta è la banda che definisce la frequenza del segnale.
Viceversa più stretto è T , più incerta è la stima della frequenza.[1])
La Fig. 10.2 illustra più dettagliatamente questa dipendenza, mostrando come varia lo spettro di una frequenza di 4 Hz al variare del tempo di osservazione da 2 a 1 e a 0.5 sec.
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Fig. 10.2 - Influenza della durata dell’intervallo di osservazione sullo spettro del segnale.
I casi esaminati nelle Fig. 10.1 e 10.2 hanno in comune un’elevata frequenza di campionamento (DT @ 1 msec, quindi fc @ 1 kHz) che rende praticamente continuo l’andamento nel tempo dei segnali considerati.
Considerando poi per il calcolo degli spettri di frequenza un’estensione del tempo di osservazione da -4 a +4 sec (il doppio rispetto a ciò che è rappresentato nei grafici, ma che dovrebbe essere teoricamente fra -¥ e +¥,), si ottengono andamenti praticamente continui anche degli spettri di frequenza.
Vi è infine da sottolineare che un rapporto dell’ordine delle centinaia fra la frequenza fc di campionamento e la frequenza f dei segnali elimina in pratica qualsiasi effetto di aliasing.
Si ritiene però opportuno esaminare il caso più realistico di piccoli rapporti, quindi di spettri decisamente discreti.
La Fig. 10.3 mostra il caso di una frequenza f = 1.5 Hz campionata in N = 20 punti per un tempo T = 2.5 sec.
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Fig. 10.3 - Esempio di campionamento a bassa frequenza.
La frequenza di campionamento risulta fc = N/T = 8 Hz ( DT=125 msec ), quindi la frequenza di Nyquist è fc/2 = 4 Hz e questa è la banda che si ripete specularmente a destra e a sinistra per tutta la gamma che si prende in considerazione.
Ciascuna frequenza è distanziata di Df = 1/T = 0.4 Hz ( la banda è composta da N/2 = 10 frequenze).
Per il campionamento a frequenze relativamente basse, si possono in definitiva trarre le seguenti conclusioni:
- anzichè stabilire la frequenza
di campionamento fc è opportuno
stabilire l’intervallo di
osservazione T ed il numero di campionamenti N (che ovviamente deve essere intero). Da
questi si ricava
fc = N/T
- ogni campionamento del segnale nel tempo risulta distanziato dal precedente di DT = T/N (=1/fc). Ciò determina la ‘densità’ dei rilievi, quindi l’accuratezza con cui il segnale viene acquisito.
- la scelta di T influenza la ‘densità’ dello spettro. Infatti ciascun valore di frequenza risulta distanziato di Df = 1/T. Un intervallo di osservazione troppo breve distanzia le varie armoniche, rendendo meno significativi i singoli valori.
- la scelta di N influenza il numero di armoniche della banda di base, che si estende da 0 a fc /2 (frequenza di Nyquist). Il loro numero è infatti N/2.
Al di là di tale banda (sia in positivo che in negativo) lo spettro base si replica specularmente, non aggiungendo alcuna informazione, ma anzi distorcendo un eventuale segnale ricostrito, in cui venissero prese in considerazione anche queste frequenze.
- il valore di fc determina il passo di ripetizione dello spettro, con pericoli di sovrapposizione (cioè di aliasing) dello spettro base con quelli replicati.